Variável Aleatória Discreta


1.                 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

Variável Aleatória (v.a.) é toda e qualquer variável associada a uma probabilidade, isto é, os seus valores estão relacionados a um experimento aleatório.

Exemplo 7.1 (Variáveis aleatórias)
Ao jogar uma moeda duas vezes, o espaço amostral associado a este experimento aleatório será: S = {CaCa ; CaCo ; CoCa ; CoCo}.
Considere que “X” represente o número de caras na face superior do lançamento da moeda. Temos então uma função definida no espaço amostral:
Ponto Amostral
X
Ca Ca
2
Ca Co
1
Co Ca
1
Co Co
0
Uma função definida em um espaço amostral é denominada variável aleatória, sendo designada, em geral, por uma letra maiúscula (X, Y, Z, …).
Uma variável aleatória pode ser classificada como Variável Aleatória Discreta (v.a.d.) ou Variável Aleatória Contínua (v.a.c.).

1.1.                      Variável aleatória discreta

Considere X uma Variável Aleatória. Se o conjunto de valores de X for finito ou infinito enumerável, então X será uma Variável Aleatória Discreta (v.a.d.), sendo obtida mediante a alguma forma de contagem.
Exemplo 7.2 (v.a.d)
Ø  Número de acidentes ocorridos em uma semana;
Ø  Número de peças defeituosas produzidas por uma máquina;
Ø  Número de filhos do sexo masculino de um casal.




Exemplo 7.3 (v.a.d)
Um homem possui 4 chaves em seu bolso. Como está escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta. Defina a v.a. X = número de chaves experimentadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correta). Quais são os valores de X?
Solução

1.1.1.     Função de probabilidade (f.d.p)

A Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta X é uma função que define a probabilidade de ocorrência de cada resultado xi desta variável, isto é, se X assume os valores  então:
P(X = xi) = P(xi) = pi ,
em que a cada valor  associa-se a sua probabilidade de ocorrência.
A Função de Probabilidade satisfaz as seguintes condições:
  • P(xi) ≥ 0, para todo xi
A coleção dos pares [xi ; P(xi)], com i = 1, 2, ..., n, denominaremos de Distribuição de Probabilidade da Variável Aleatória Discreta X, podendo ser representada por meio de tabelas e/ou gráficos (gráfico de barras).

Exemplo 7.4 (Função de probabilidades)
Um homem possui 4 chaves em seu bolso. Como está escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta. Defina a v.a. X = número de chaves experimentadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correta). Encontre a função de probabilidade de X?


Solução
1
2
3
4
3/12
6/24
6/24
1

1.1.2.     Função Distribuição Acumulada

A Função Distribuição Acumulada ou Função Distribuição de Probabilidade (F.D.A) também chamada função de distribuição, é a probabilidade da V.A X assumir  valores  menores  ou  iguais a t, onde t é um número real.  É representada por F(t), de modo que:
A F(t) tem as seguintes propriedades:
·        
·        
·        

Exemplo 7.5 (F.D.A)
Um homem possui 4 chaves em seu bolso. Como está escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta. Defina a v.a. X = número de chaves experimentadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correta). Encontre a Função  Distribuição  Acumulada de X?
Solução

1.1.3.     Esperança Matemática ou Valor Esperado

A Esperança Matemática ou Valor Esperado quantifica a média de uma Variável Aleatória Discreta (v.a.d).
Seja X uma v.a.d. com a seguinte Distribuição de Probabilidade:
Xi
X1
X2
...
Xn
Total
P(Xi)
P(X1)
P(X2)
...
P(Xn)
1,0
Define-se Esperança Matemática de X por:

Propriedades da Esperança Matemática:
  • A Esperança Matemática de uma constante é a própria constante
  • A Esperança Matemática do produto de uma constante por uma variável é igual ao produto da constante pela Esperança Matemática da variável
  • Se X e Y são duas variáveis aleatórias independentes
  • Esperança Matemática da soma ou da subtração de duas variáveis quaisquer é igual à soma ou subtração das Esperanças Matemáticas das duas variáveis aleatórias
  • A Esperança Matemática da soma ou subtração de uma variável aleatória com uma constante é igual à soma ou subtração da Esperança Matemática da variável com a constante

Exemplo 7.6 (Esperança matemática)
Considere a v.a. X com função de probabilidade dada por:
-3
-1
0
2
5
8
9
Total
0.25
0.30
0.20
0.10
0.07
0.05
0.03
1
Determine a Esperança da v.a. X
Solução

1.1.4.     Variância

A Variância é uma medida que quantifica a dispersão dos valores em torno da média. A Variância de uma Variável Aleatória Discreta X é definida por:
em que:
           
Propriedades da Variância:
  • A variância de uma constante é igual à zero
  • Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória sua variância não se altera
  • Multiplicando uma variável aleatória por uma constante sua variância fica multiplicada pelo quadrado da constante
  • A variância da soma ou subtração de duas Variáveis Aleatórias Independentes (X e Y) é igual à soma de suas variâncias


Exemplo 7.7 (Variança)
Considere a v.a. X com função de probabilidade dada por:
-3
-1
0
2
5
8
9
Total
0.25
0.30
0.20
0.10
0.07
0.05
0.03
1
Determine a Variança da v.a. X

1.2.                      EXERCÍCIOS PROPOSTOS


1.2.1.     Um homem possui 4 chaves em seu bolso. Como está escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta.
a)      Defina um espaço amostral para esse experimento.
b)      Defina a v.a. X = número de chaves experimentadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correta). Quais são os valores de X?
c)       Encontre a f.d.p da v.a. X.

1.2.2.     Numa urna há 7 bolas brancas e 4 bolas verdes. Cinco bolas são extraídas dessa urna. Defina a v.a. X = número de bolas verdes.
a)      Quais são os possíveis valores de X se as extracções são feitas (1) sem reposição; (2) com reposição.
b)      Encontre a fdp da v.a. X.

1.2.3.     Seja uma v.a. X com fdp dada na tabela a seguir:
0
1
2
3
4
5
0

c)       Encontre o valor de p;
d)      Calcule
e)      Calcule
f)        Calcule
1.2.4.     Em determinado sector de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de probabilidades (esses números foram obtidos dos resultados de vários anos de estudo):
0
1
2
3
4
5
6
0.1
0.4
0.2
0.1
0.1
0.05
0.05

Cada vendedor recebe comissões de venda, distribuídas da seguinte forma: se ele vende até 2 produtos em um dia, ele ganha uma comissão de 10,00 u.m por produto vendido. A partir da terceira venda, a comissão passa para 50,00 u.m.
a)      Qual é o número médio de produtos vendidos por cada vendedor;
b)      Qual a comissão média de cada um deles?

1.2.5.     Um lojista mantém extensos registos das vendas diárias de um certo aparelho. O quadro a seguir dá a distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana. 
0
1
2
3
4
5
0.1
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1

a)      Se é de 500,00 USD o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado em uma semana?
b)      Qual é o desvio padrão do lucro?

1.2.6.     O tempo t, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com fdp dada na tabela abaixo.
2
3
4
5
6
7
0.1
0.1
0.3
0.2
0.2
0.1

Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de 2 u.m. (unidade monetária) mas, se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha 0,50 u.m. por cada minuto poupado.
a)      Encontre a função de distribuição da v.a. G = quantia (em u.m.) ganha por peça.
b)      Determine a quantia média e o desvio padrão ganha por peça.

1.2.7.     Um vendedor de equipamentos pesados pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade de 1/3 e 2/3 respectivamente. De cada contacto, pode resultar a venda de um equipamento por 50.000 u.m com probabilidade 1/10 ou nenhuma venda, com probabilidade 9/10. Indicando por Y o valor total de vendas diárias deste vendedor, escreva a função de probabilidade de Y e calcule o valor total esperado de vendas diárias.

1.2.8.     Na produção de uma peça são empregadas 2 máquinas. A primeira é utilizada para efectivamente produzir as peças e o custo de produção é de 50,00 u.m por peça. Das peças produzidas nessa máquina, 90% são perfeitas. As peças defeituosas são colocadas na segunda máquina para a tentativa de recuperação. Nessa segunda máquina o custo de produção é de 25,00 u.m mas apenas 60% das peças são de fato recuperadas. Cada peça perfeita é vendida por 90,00 u.m e cada peça defeituosa é vendida por 20,00 u.m. Seja L o lucro por peça. Obtenha:
a)      A função de distribuição de probabilidades de L;
b)      A função de distribuição acumulada de L;
c)       O lucro esperado por peça; (Sol: 34,7)
d)      A variância do lucro. (Sol: 330,41)

1.2.9.     Um revendedor de produtos veterinários recebe de vários laboratórios certo tipo de antibiótico, que tem custo diferenciado. Levando-se em conta a proporção fornecida e o preço apresentado por cada laboratório, pode-se considerar que o custo de uma dose de antibiótico em reais, escolhida ao acaso, é uma variável aleatória C. Admitindo a seguinte distribuição de probabilidade para C:
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
0,2
0,3
0,2
0,2
0,1
a)      Determinar a média e a variância da variável aleatória C;
b)      Supondo que o revendedor venda cada um desses antibióticos acrescentando 50% sobre o custo, além de um adicional de 0,10 u.m pelo frete, calcular a média e a variância da nova variável aleatória preço de revenda R.

1.2.10. Uma loteria distribui prémios entre seus clientes da seguinte forma:
·         400 prêmios de 100,00 u.m;
·         50 prêmios de 200,00 u.m;
·         10 prêmios de 400,00 u.m.
Admitindo-se que em um concurso sejam emitidos e vendidos 10.000 bilhetes, qual o preço justo a se pagar por um bilhete?
1.2.11.Um jogador A paga 5,00 u.m a B e lança um dado. Se sair face 3, ganha 20,00 u.m. Se sair face 4, 5, ou 6, perde. Se sair face 1 ou 2, tem o direito de jogar novamente. Desta vez, lança dois dados. Se saírem duas faces 6, ganha 50,00 u.m. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro de volta. Nos demais casos, perde. Seja L o lucro líquido do jogador A nesse jogo. Calcule a função de probabilidade de L e o lucro esperado do jogador A.

1.2.12.A demanda por um certo produto pode ser vista como uma variável aleatória X cuja função de probabilidade  é estimada por:
1
2
3
4
 
0.25
0.45
0.15
0.15
a)      Verifique que  realmente define uma função de probabilidade;
b)      Obtenha a função de distribuição acumulada de X;
c)       Usando a função de distribuição calculada no item anterior, calcule .

1.2.13.Dentre os cinco alunos de um curso com coeficiente de rendimento (CR) superior a 8.5, dois serão sorteados para receber uma bolsa de estudos. Os CRs desses alunos são: 8.8; 9.2;8.9; 9.5; 9.0.
a)      Designando por A; B;C; D; E os alunos, defina um espaço amostral para esse experimento;
b)      Seja  médio dos alunos sorteados. Liste os possíveis valores de X;
c)       Liste o evento ; 0;
d)      Encontre a função de probabilidade de X e calcule .

1.2.14.Um bandido é preso em uma cela que contém 3 portas. A primeira porta o leva a um túnel que o conduz à própria cela depois de 2 dias de viagem. A segunda porta leva-o a um túnel que o conduz à própria cela depois de 4 dias de viagem. A terceira porta o conduz à liberdade depois de um dia de viagem. Se assumirmos que o bandido selecciona as portas 1, 2 e 3 com probabilidades 0.5, 0.3 e 0.2 respectivamente, qual o número esperado de dias para que alcance a liberdade?

1.2.15.Um investimento pode resultar em uma das possibilidades possíveis: lucro de US$ 4.000, lucro de US$ 8.000 ou prejuízo de US$ 10.000 com probabilidades iguais a 45%, 55% e 26%, respectivamente. Determine o valor esperado para um investi­mento potencial.

1.2.16.A organização financeira Betha Ltda. verificou que o lucro unitário L, obtido numa operação financeira é dado pela seguinte expressão:
Sabendo-se que o preço de venda unitário V tem uma distribuição de média US$ 50,00 e desvio padrão de US$ 2,00, e que o preço de custo unitário C tem uma distribuição de média US$ 45,00 e desvio padrão US$ 1,50, qual é a média e o desvio padrão do lucro unitário?

1.2.17.Um produto tem custo médio de US$ 10,00 e desvio padrão de US$ 0,80. Calcular o preço de venda médio, bem como seu desvio padrão, de forma que o lucro médio seja de US$ 4,00 e seu desvio padrão de US$ 1,00.

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